(x^a)'=ax^(a-1) 〜冪関数の微分〜

数学Ⅱでは、冪関数の微分の公式として

という公式を習います。
この公式の証明は、x^a という関数を導関数の定義にあてはめて、二項定理を使って行います。

二項定理は、(α+β)^n を計算するための定理ですが、ここでのnは自然数です。ですから、二項定理による証明は、x^a のaが自然数のときでなければ成立しません（つまり、xの2乗だとか3乗だとか、という関数の微分は二項定理によって証明できますが、x^(1/2)=√x だとか、x^(-1)=1/x という関数の微分は二項定理によって証明できません）。

ですが、冒頭に挙げたの公式 (x^a)'=ax^(a-1) は、実数全体について成り立つらしい…
というわけで、これを指数関数の微分を使って証明してみました。
数学的に正しいのか、あんま自信ないけど…

ではいきます。詳しい説明は後に回して、とりあえず式を全部書いていきます。

◯1行目
対数 log_a b（底がa、真数がbの対数）とは、「底aを何乗したらbになるか」という数です。したがって、α^?=β であるとき、「底αを?乗したらβになる」ため、?はlog_α β（底がα、真数がβの対数）となります。
eとは、y=e^x というグラフの、x=0のときの微分係数が1になる、という特別な数です（正確には、こうなるようにeという数を定義した）。y=e^x を微分すると y=e^x （そのまま）になる、という性質があり、この声質を3行目から4行目にかけての式変形で使っています。

◯1行目から2行目
対数の性質

◯2行目から3行目

合成関数の微分です。感覚的に、d(a log_e x) を約分すると d(e^(a log_e x))/dx、つまりe^(a log_e x) の微分になるため、とりあえず納得はしていただけると思います。

詳しい説明はここでは省きます。（気になる方はココ）

◯3行目から4行目

1行目の式変形の説明のところでも説明したとおり、eという数は特別で、e^X を微分してもそのままである、という性質があります。

a log_e x の微分は、とりあえずaは定数なので外に出せます。log_e x をxで微分すると、実は1/xになります（詳しくはココ）

◯4行目から5行目

指数法則

◯5行目から6行目

1/x = x^(-1) 

◯6行目から7行目

指数法則

さて、すべて説明が終わりました。

こんなところで指数関数の微分を使ってもいいのか、すごく気になるところですが…ともかく、わりと綺麗に証明できたと思います。

いかがでしょうか。

回転行列の導出には加法定理を使う？

５時間くらい前に投稿した加法定理の証明の中で、一次変換を使いましたが…
なんか循環論法になっちゃってるような気がしてきたので、確かめてみました。

ベクトルa=(p,q)をθ回転させてみます。
θ回転する変換をfとおくと

よって、θ回転する変換を表す行列は
cosθ　-sinθ
sinθ　 cosθ



よかった、回転行列の導出には加法定理は使われてませんね。
循環論法にはなっていませんでした。

三角関数の加法定理の証明

三角関数の加法定理の証明。
教科書に書いてあった証明がキモチワルイので…いろいろ考えてみた。
教科書のやりかたは、ココに書いてあるのと似ています。

①ベクトルを使ってみる

この図で、

です。

ここで、aベクトルはベクトル（cosα, sinα）と平行で、大きさは 1×cosβ=cosβだから

また、bベクトルは（cosα, sinα）ベクトルと直交するベクトル（-sinα, cosα）と平行で、大きさは 1×sinβ=sinβだから

よって

よって、

　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

が得られました。

（ここで、それぞれβ=-βを代入すれば sin(α-β)、cos(α-β)が、

　sin(α+β)/cos(α+β)を計算すれば tan（α+β）が得られます。）

②一次変換を使ってみる

ベクトル（cos(α+β), sin(α+β)）は、ベクトル(cosα, sinα)をβ回転させたものです。

だから、

よって、

　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

が得られました。

2つしか思いつきませんでした…

他にもいろいろとやり方がありそうですね。