高校生の考察ノート: 8月 2012

等加速度運動といえば、教科書の一番最初に載っている重要な公式が3つあります。

$v = v_0 + at\\ x = \frac{1}{2}at^2 + v_0 t \\ v^2 - v_0^2 = 2ax$

今回考えるのは、一番最後の式

$v^2 - v_0^2 = 2ax$

の意味です。

まずは次元（単位）を考えてみましょう。左辺が速度の2乗になっていますから、この式の次元は [m^2 / s^2]ですね。この単位の物理的な意味は…と考えてみても、思いつきません。そこで、両辺に 1/2 m をかけてみましょう。

$v^2 - v_0^2 = 2ax \\ \iff \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = max \\ \iff \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m v_0^2 + max$

どこかで見覚えがないでしょうか。よく見かける形に直すためにに、右辺の第2項 max の加速度aを重力加速度gに、変位xを高さhに書き換えて、左辺にmg×0を加えてみると…

$\frac{1}{2}mv^2 + mg\cdot0 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$

もうお分かりでしょう。この式は、力学的エネルギー保存則を意味していたのです。

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ここで一旦公式から離れて、力学的エネルギー保存則を導出しましょう（簡単のため、ここでは1次元運動を考えます）。
運動方程式

$ma = F$

の両辺にvをかけます。

$mav=Fv$

ここで、左辺のことを考えます。加速度 a は速度 v の微分（加速度の定義）ですから、書きなおすと

$mav = m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v$

以後、淡々と（うまくいくように）計算すると

$m \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v \\ &=& \frac{1}{2}m \cdot 2\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v \\ &=& \frac{1}{2}m \left( \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}v + v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \right ) \\ &=& \frac{1}{2}m \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (v \times v) \\ &=& \frac{1}{2}m \frac{\mathrm{d}v^2}{\mathrm{d}t} \\ &=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{1}{2} m v^2 \right)$

注・3行目から4行目にかけての式変形に納得ができない方は、逆に4行目の式を変形すると3行目に戻ることを確認してみてください。合成関数の微分公式より、(v × v)' = v'v + vv'です。
注・1/2 m は定数ですから、5行目から6行目にかけての式変形が成り立ちます。

よって、運動方程式の両辺に v をかけた式

$mav = Fv$

は、

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right ) = Fv$

と書きなおすことができます。さて、両辺を時間t=0~tで積分してみましょう。ここで、t=0のときの速度をv0、t=tのときの速度をvとします。

$\int_{0}^{t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{1}{2}mv^2 \right ) \mathrm{d}t= \int_{0}^{t} Fv \mathrm{d}t \\ \iff \left[ \frac{1}{2}mv^2 \right ]_{t=0 \iff v=v_0}^{t=t \iff v=v} = \int_{0}^{t} Fv \mathrm{d}t \\ \iff \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \int_{0}^{t} Fv \mathrm{d}t$