第二宇宙速度の求め方

だいぶ昔に、第一宇宙速度の求め方を投稿しました。今度は第二宇宙速度です。

第二宇宙速度とは、ある惑星から物体を放り投げたとき、その物体が惑星の重力を振りきる（惑星に落下しない）ための最小の速度です。つまり、第二宇宙速度で放り投げた物体は、永遠に惑星から遠ざかり続けます。第二宇宙速度よりも遅い速度で投げると、物体は惑星に落下してしまいます。

さて、では第二宇宙速度を求めてみましょう。

問題設定としては、以下のような感じです。

惑星から、鉛直上向きに、初速v_0で投げ上げます。物体は時刻tのとき位置xに所在し、速度vを持っています。惑星の質量をM、物体の質量をmとします。また、x軸の原点を惑星の中心にとります。

まずはじめに考えたやり方：「運動方程式をそのまま積分しちゃえ！」

物体が受ける力Fは、万有引力の法則より

です。よって運動方程式は

（Fはx軸と向きが逆なので、マイナスがつきます。）

これを時間で積分すれば速度が出てくるはずです。そこから速度が永遠に正の値をとるための条件を求めれば、第二宇宙速度が分かります。というわけで積分してみましょう。

さて、右辺の積分ですが…xはtの関数です。この積分、たぶんできませんよね。

というわけで、この方法は諦めます。

仕方ないので次に考えたやり方：「エネルギーを使おう」

この問題では、以下の力学的エネルギー保存則が成り立ちます。

（これは、さきほどの運動方程式をxで積分すれば得られます。）

さて、一番最初に、地表から初速v_0で真上に投げあげています。このときの全力学的エネルギーは、惑星の半径（=地表におけるx座標）をRとすれば、

よって力学的エネルギー保存則は

と表されます。

さて、ここで問題が…教科書などには、「無限遠点でv≧0となるためには、（無限遠点での運動エネルギー）≧0」などと書かれていますが、これは本当なのでしょうか。僕はこの点に疑問を持ちました。

エネルギーというのはスカラー量です。だから、物体がどこかしらの向きに速さを持っていれば、その物体はエネルギーを持っていることになってしまいます。つまり、（運動エネルギー）≧0だからといって、物体が惑星から離れる向きに速度を持っているとは限らないのです。（この部分の記述について、下に追記（11/30）があります。）

ここからどのように議論を進めていけばよいでしょうか…

とりあえず、先ほどのエネルギー保存則の式を、vについて解いてみましょう。

これは、「位置が指定されれば速度が定まる」という関数になっています。

根号が出てきました。根号の中身は正でなければなりませんから、任意のxについて以下の不等式を満たさなければなりません。

この式は、等号成立時にxが最大で右辺の値になる、ということを表していますから、物体は

まで行ける、ということを意味しています。

いま、物体は無限の彼方まで行ってほしい、つまり

となってほしいので、物体が無限の彼方まで行くための条件は、

となります。

この、√(2GM/R)という値が、第二宇宙速度となります。

うーん、なんかしっくりこないなぁ…この議論だと、v_0が第二宇宙速度よりも早くなっちゃったときに変なことが起こっちゃいそうだし…

もっとしっくりくる方法を考えて、また投稿します。何か別の方法を知っているという方は、教えていただけると嬉しいです。コメントか、またはmhasegawa.net@gmail.comまでお願いします！



（追記 11/30）
上の方に「物体がどこかしらの向きに速さを持っていれば、その物体はエネルギーを持っていることになってしまいます。つまり、（運動エネルギー）≧0だからといって、物体が惑星から離れる向きに速度を持っているとは限らないのです。」と書きました。しかし、Google+での議論から、この記述は正しくないんじゃないか…と思うようになりました。
いま、物体が無限遠点に行くときのことを考えています。さて、「無限遠点でv<0（速度が、物体が惑星に近づく向き）にある」とはどのような状況なのでしょうか。
最初、v(0)=v_0 > 0で打ち上げています。無限に時間が経った後では、v(∞)<0となります。ですから、有限の時間のうちに一度v=0とならなければなりません。v=0、つまり物体が静止しているとき、その物体が「無限に遠い」場所にいる、と表現することはできません。静止しているのですから、絶対に惑星の中心からの距離が測れるはずです。つまり、「無限遠点で速度が負」というのは、矛盾があるのです。よって、「物体が無限遠点で運動エネルギーを持っている」ならば、その速度は必ず惑星から遠ざかる向きにある、と言って良いのでしょう。