等加速度運動・第3の公式"v^2 - v0^2 = 2ax"の意味

等加速度運動といえば、教科書の一番最初に載っている重要な公式が3つあります。

今回考えるのは、一番最後の式

の意味です。

まずは次元（単位）を考えてみましょう。左辺が速度の2乗になっていますから、この式の次元は [m^2 / s^2]ですね。この単位の物理的な意味は…と考えてみても、思いつきません。そこで、両辺に 1/2 m をかけてみましょう。

どこかで見覚えがないでしょうか。よく見かける形に直すためにに、右辺の第2項 max の加速度aを重力加速度gに、変位xを高さhに書き換えて、左辺にmg×0を加えてみると…

もうお分かりでしょう。この式は、力学的エネルギー保存則を意味していたのです。

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ここで一旦公式から離れて、力学的エネルギー保存則を導出しましょう（簡単のため、ここでは1次元運動を考えます）。
運動方程式

の両辺にvをかけます。

ここで、左辺のことを考えます。加速度 a は速度 v の微分（加速度の定義）ですから、書きなおすと

以後、淡々と（うまくいくように）計算すると

注・3行目から4行目にかけての式変形に納得ができない方は、逆に4行目の式を変形すると3行目に戻ることを確認してみてください。合成関数の微分公式より、(v × v)' = v'v + vv'です。
注・1/2 m は定数ですから、5行目から6行目にかけての式変形が成り立ちます。

よって、運動方程式の両辺に v をかけた式

は、

と書きなおすことができます。さて、両辺を時間t=0~tで積分してみましょう。ここで、t=0のときの速度をv0、t=tのときの速度をvとします。

ここで、Fが一定のときのことを考えます。Fが一定のとき、Fは定数ですから、積分の外に出すことができます。

速度は変位の微分（速度の定義）ですから、速度を積分すると変位になります。t=0のときx=0, t=tのときx=xとする（時間tの間の変位をxとする）と、上式は

運動方程式より、ma=Fですから、さらに変形して

よって、両辺を 1/2 m で割って

条件を整理すると、

t=0 のときの速度を v0

t秒後の速度をv

t秒間の変位をx（t=0のときの座標が0, t=tのときの座標がx）

とし、

F=const.（一定）、つまりma=const. ∴a=const.（等加速度）であるときに、

運動方程式を変形して力学的エネルギー保存則を導出し、そこからさらに「等加速度運動の公式」である

が導かれることがわかりました。